A Fundamentação Algébrica: Retas e Conjuntos Afins
Para navegar em um cenário de otimização multidimensional, devemos definir como nos mover entre dois pontos $x_1$ e $x_2$. Uma reta matemática é o conjunto de todos os pontos $y$ que satisfazem:
$$y = \theta x_1 + (1 - \theta)x_2$$
Equivalente, podemos vê-lo como começar em $x_2$ e se mover na direção $(x_1 - x_2)$ escalada por $\theta$: $y = x_2 + \theta(x_1 - x_2)$. Quando $\theta$ varia sobre todos os números reais $\mathbb{R}$, geramos um conjunto afim. Uma propriedade fundamental para lembrar: Toda reta é afim. Se ela passa pela origem, é um subespaço, logo também um cone convexo.
Um segmento de reta é a restrição onde $0 \le \theta \le 1$. Diferentemente da reta infinita, um segmento de reta é convexo, mas não afim (a menos que se reduza a um ponto). Representa a coleção de todas as "médias ponderadas" ou combinações entre dois extremos.
Um raio, que tem a forma $\{x_0 + \theta v \mid \theta \ge 0\}$, onde $v \neq 0$, também é convexo, mas não afim. Os raios são os blocos fundamentais para cones na teoria da otimização.
O Teste do Litígio da Convexidade
Definimos um conjunto $C$ como convexo se o segmento de reta conectando quaisquer dois pontos no conjunto estiver inteiramente dentro do conjunto. Este requisito simples — inclusão da "ponte" — é o que torna os problemas de otimização solucionáveis ou insuperáveis.
Exemplo: Otimização de Portfólio
Na finanças, suponha que $x_1$ represente um portfólio de 100% de ações e $x_2$ seja 100% de títulos. O segmento de reta representa todas as combinações ponderadas possíveis. Por exemplo, uma divisão 60/40 ocorre em $\theta = 0.6$. Se o conjunto dos "portfólios permitidos" for convexo, qualquer mistura de dois portfólios válidos será garantidamente válida — uma propriedade que simplifica enormemente a avaliação de riscos.